ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับตรีโกณมิติ

ดูสิ่งนี้ด้วย: เรขาคณิตเบื้องต้น

ตรีโกณมิติตามชื่ออาจแนะนำเป็นข้อมูลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม

โดยเฉพาะอย่างยิ่งตรีโกณมิติเป็นเรื่องเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยที่หนึ่งในมุมภายในคือ 90 ° ตรีโกณมิติเป็นระบบที่ช่วยให้เราคำนวณความยาวด้านหรือมุมที่ขาดหายไปหรือไม่ทราบในรูปสามเหลี่ยม

มีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมในหน้าของเรา รูปหลายเหลี่ยม คุณควรจะต้องทำความเข้าใจพื้นฐานก่อนที่จะอ่านเพิ่มเติมที่นี่



สามเหลี่ยมมุมฉาก: คำเตือน

สามเหลี่ยมมุมฉากมีมุมฉากเดียว ตามความหมายนั่นหมายความว่าทุกด้านไม่สามารถมีความยาวเท่ากันได้ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากทั่วไปแสดงอยู่ด้านล่าง

ข้อกำหนดที่สำคัญสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก


สามเหลี่ยมมุมฉากแสดงสิ่งที่ตรงกันข้ามติดกันและด้านตรงข้ามมุมฉาก
  • มุมฉาก ระบุด้วยช่องเล็ก ๆ ที่มุม



  • มุมอื่น ๆ ที่เรา (โดยปกติ) รู้จะถูกระบุโดย θ (เธต้า) .

  • ด้านตรงข้ามกับมุมฉากซึ่งเป็นด้านที่ยาวที่สุดเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก .

  • ด้านตรงข้ามθเรียกว่า ตรงข้าม .



  • ด้านข้างθซึ่งไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉากเรียกว่า ที่อยู่ติดกัน .

ทฤษฎีบทของพีทาโกรัสเทียบกับตรีโกณมิติ


Pythagoras เป็นนักปรัชญาชาวกรีกที่มีชีวิตอยู่เมื่อ 2500 ปีก่อน เขาได้รับการยกย่องจากการค้นพบทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ที่สำคัญหลายอย่างซึ่งเนื้อหาที่สำคัญที่สุดได้กลายเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทของพีธากอรัส

มันเป็นกฎสำคัญที่ใช้ เฉพาะสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น . มันบอกว่า 'กำลังสองด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองอีกสองด้าน'

ฟังดูค่อนข้างซับซ้อน แต่จริงๆแล้วมันเป็นแนวคิดง่ายๆเมื่อเราเห็นในแผนภาพ:

พีทาโกรัส

ทฤษฎีบทของ Pythagoras กล่าวว่า:

ถึงสอง+ bสอง= คสอง

ดังนั้นถ้าเราทราบความยาวของด้านสองด้านของสามเหลี่ยมและเราจำเป็นต้องคำนวณด้านที่สามเราสามารถใช้ทฤษฎีบทของพีทาโกรัสได้

อย่างไรก็ตามหากเรารู้ความยาวด้านเดียวและมุมภายในด้านใดด้านหนึ่งพีธากอรัสก็ไม่เป็นประโยชน์สำหรับเราด้วยตัวมันเองและเราจำเป็นต้องใช้ตรีโกณมิติ


ขอแนะนำไซน์โคไซน์และแทนเจนต์

ฟังก์ชันพื้นฐานในตรีโกณมิติมีสามฟังก์ชันซึ่งแต่ละด้านคือด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากหารด้วยอีกด้านหนึ่ง

สามฟังก์ชั่นคือ:

ชื่อ ตัวย่อ ความสัมพันธ์กับด้านข้างของสามเหลี่ยม
ไซน์ ไม่มี บาป (θ) = ตรงข้าม / ด้านตรงข้ามมุมฉาก
โคไซน์ บางสิ่งบางอย่าง Cos (θ) = อยู่ติดกัน / ด้านตรงข้ามมุมฉาก
สัมผัส ดังนั้น Tan (θ) = ตรงข้าม / ติดกัน


การคำนวณไซน์โคไซน์และแทนเจนต์

คุณอาจพบว่าการจำไซน์โคไซน์และแทนเจนต์เป็น SOH CAH TOA เป็นประโยชน์

การจำฟังก์ชันตรีโกณมิติอาจเป็นเรื่องยากและสับสนในการเริ่มต้น แม้แต่ SOH CAH TOA ก็อาจเป็นเรื่องยุ่งยาก คุณสามารถลองสร้างความจำตลก ๆ เพื่อช่วยให้คุณจำได้ เพียงให้แต่ละกลุ่มของตัวอักษรสามตัวในลำดับเดียวกัน



ตัวอย่างเช่น TOA SOH CAH อาจเป็น ' ที เขา หรือ ld ถึง นักโบราณคดี ที่ หรือ n คือ ข้าวโอ๊ต ถึง nd ที่'.

เคล็ดลับสุดยอด!


เนื่องจากความสัมพันธ์ระหว่างกัน Tan θจึงสามารถคำนวณได้ดังนี้:
ซินθ / คอสθ.

ซึ่งหมายความว่า:

  • Sin θ = Cos θ× Tan θและ
  • คอสθ = บาปθ / ทั่นθ.

ตรีโกณมิติในวงกลม

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับแวดวงหรือการทบทวนอย่างรวดเร็วโปรดดูที่หน้าของเราใน วงกลมและรูปทรงโค้ง .

เมื่อพิจารณารูปสามเหลี่ยมเราจะ จำกัด มุมให้น้อยกว่า 90 ° อย่างไรก็ตามตรีโกณมิติสามารถใช้ได้กับทุกมุมอย่างเท่าเทียมกันตั้งแต่ 0 ถึง 360 ° เพื่อให้เข้าใจว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติทำงานอย่างไรกับมุมที่มากกว่า 90 °การคิดถึงรูปสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นภายในวงกลมจะเป็นประโยชน์

พิกัดคาร์ทีเซียนของวงกลม



พิจารณาวงกลมแบ่งออกเป็นสี่ส่วน

ตามอัตภาพศูนย์กลางของวงกลมถือเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนของ (0,0) นั่นคือค่า x คือ 0 และค่า y คือ 0 สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้โปรดดูที่หน้าของเรา พิกัดคาร์ทีเซียน .

สิ่งที่อยู่ทางซ้ายของจุดศูนย์กลางมีค่า x น้อยกว่า 0 หรือเป็นลบในขณะที่สิ่งใด ๆ ทางขวามีค่าเป็นบวก

ในทำนองเดียวกันสิ่งที่อยู่ใต้จุดศูนย์กลางจะมีค่า y น้อยกว่า 0 หรือเป็นลบและจุดใด ๆ ที่อยู่ด้านบนสุดของวงกลมมีค่า y เป็นบวก


การใช้วงกลมที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุมที่มากกว่า 90 °

แผนภาพ ผม แสดงให้เห็นว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราวาดรัศมีจากศูนย์กลางของวงกลมไปทางขวาตามแกน x (เราบอกว่านี่เป็นไปในทิศทางบวก)

จากนั้นเราหมุนรัศมีในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาผ่านมุมทีต้าθ สิ่งนี้ทำให้เกิดสามเหลี่ยมมุมฉาก

ไม่มีθ = ตรงข้าม (เส้นสีแดง)
ด้านตรงข้ามมุมฉาก (เส้นสีน้ำเงิน)

คอสθ = ที่อยู่ติดกัน (เส้นสีเขียว)
ด้านตรงข้ามมุมฉาก (เส้นสีน้ำเงิน)

ใน แผนภาพ yl เราได้หมุนรัศมีเพิ่มเติมในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาผ่านแนวตั้ง (แกน y) ไปยังจตุภาคถัดไป ในที่นี้θคือมุมป้านระหว่าง 90 °ถึง 180 ° มุมอ้างอิงอัลฟาαเท่ากับ 180 ° - θและเป็นมุมแหลมภายในสามเหลี่ยมมุมฉาก

บาปθ = บาปα = ตรงข้าม (เส้นสีแดง)
ด้านตรงข้ามมุมฉาก (เส้นสีน้ำเงิน)

ทั้งเส้นสีน้ำเงินและสีแดงเป็นบวกดังนั้น sin θจึงเป็นบวก

คอสθ = −Cos α = ที่อยู่ติดกัน (เส้นสีเขียว)
ด้านตรงข้ามมุมฉาก (เส้นสีน้ำเงิน)

Cos θเป็นลบเนื่องจากเส้นสีเขียวเป็นลบ (อยู่ตามแกน x ทางด้านซ้ายของจุดกำเนิด (0,0) ดังนั้นจึงอยู่ในส่วนลบของแกน x)

ใน แผนภาพ สาม รัศมีได้หมุนทวนเข็มนาฬิกาไปยังจตุภาคถัดไปเพื่อให้ค่าของθอยู่ระหว่าง 180 °ถึง 270 ° เส้นสีเขียวสีแดงและสีน้ำเงินล้วนมีค่าเป็นลบและα = θ - 180 ° ไซน์และโคไซน์จึงมีค่าเป็นบวกทั้งหมด

แผนภาพ iv แสดงจตุภาคสุดท้าย ค่าของθอยู่ระหว่าง 270 °ถึง 360 °เส้นสีเขียวเป็นค่าบวก แต่เส้นสีแดงและสีน้ำเงินเป็นค่าลบ บาปθจึงเป็นบวกและคอสθเป็นลบ α = 360 ° - θ


วงกลมหน่วย

'วงกลมหน่วย' เป็นกรณีพิเศษของวงกลมที่แสดงในแผนภาพด้านบน วงกลมหน่วยมีรัศมี 1

เมื่อทำงานกับวงกลมหน่วยเราสามารถวัด cos, sin และ tan ได้โดยตรง:

ไซน์โคไซน์และแทนเจนต์ - วงกลมหน่วย

กราฟของไซน์โคไซน์และแทนเจนต์

ความสัมพันธ์ระหว่างมุมกับบาปหรือ cos สามารถวาดเป็นกราฟได้:

  • y = บาป (θ)
  • y = cos (θ)
ไซน์กราฟโคไซน์ www.skillsyouneed.com/num/trigonometry.html

คุณจะเห็นว่าเมื่อθเป็น 0 ไซน์ก็เช่นกัน สิ่งนี้สมเหตุสมผลเมื่อคุณดูแผนภาพวงกลมหน่วยด้านบน เมื่อθ = 0 ทั้งสองด้านที่อยู่ติดกันและด้านตรงข้ามมุมฉากจะอยู่ตามแนวแกน x บวกและเส้นสีแดงที่แสดงค่าของ sin θจะหายไป (ไม่มีรูปสามเหลี่ยม)

กราฟโคไซน์มีรูปร่างเหมือนกันกับไซน์ แต่มีค่าเท่ากับ 1 เมื่อθ = 0 เมื่อมองไปที่วงกลมด้านบนอีกครั้งเมื่อθ = 0 ค่าที่อยู่ติดกันและด้านตรงข้ามมุมฉากทั้งสองอยู่ตามแกน x ที่เป็นบวกและมีค่าเท่ากัน ดังนั้นที่อยู่ติดกัน / ด้านตรงข้ามมุมฉาก = 1

ลักษณะวัฏจักรของกราฟไซน์และโคไซน์มีความสำคัญอย่างเหลือเชื่อตลอดทั้งวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและวิศวกรรม ตัวอย่างเช่นการใช้งานไฟฟ้า (กระแสสลับ) เสียงและคลื่นวิทยุการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (เช่นลูกตุ้มแกว่ง) วิถีของดาวเทียมหรือการขึ้นลงของกระแสน้ำ

แอมพลิจูด ของรูปแบบคลื่นวัฏจักรคือค่าของ 'จุดสูงสุด' ในกราฟนั่นคือระยะห่างจากแกน x ถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ในกราฟไซน์และโคไซน์ด้านบนแอมพลิจูดมีค่าเท่ากับ 1 ในการใช้งานเช่นเสียงหรือกระแสไฟฟ้าแอมพลิจูดจะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับความดังของเสียงหรือขนาดของกระแส แอมพลิจูดของกระแสน้ำยังแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับตำแหน่งของดวงจันทร์และ 'แรงดึง' บนโลก

ลักษณะของกราฟแทนเจนต์ (tan θ) ค่อนข้างแตกต่างกัน กราฟแทนเจนต์ไม่มี แอมพลิจูด (ลักษณะคล้ายคลื่น) เนื่องจากไม่มีค่าสูงสุดสูงสุดหรือต่ำสุด มันเปลี่ยนจาก −∞ เป็น + ∞ (อินฟินิตี้เชิงลบและบวก) ข้ามผ่าน 0 ทุกๆ 180 °:

กราฟของเส้นสัมผัส

ที่อินฟินิตี้ (บวกหรือลบ) ว่ากันว่าเป็น ไม่ได้กำหนด. เราจะเข้าใจกราฟนี้ได้ดีขึ้นเมื่อพิจารณาสมการ tan θ = sin θ / cos θ เมื่อใดก็ตามที่บาปθเป็นศูนย์ดังนั้นสีแทนθก็ต้องเป็นศูนย์เช่นกัน ในทางกลับกันเมื่อใดก็ตามที่ cos θเป็นศูนย์ตัวส่วนในสมการจะกลายเป็นศูนย์ อะไรก็ตามที่หารด้วยศูนย์จะมีค่าเป็นอินฟินิตี้ดังนั้นค่าของθที่มีโคไซน์เป็นศูนย์จะมีแทนเจนต์ของอินฟินิตี้บนกราฟด้วย อินฟินิตี้ไม่มีค่าที่แน่นอนดังนั้นเส้นบนกราฟแทนเจนต์จึงกลายเป็นแนวตั้งมากขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อแกน y เพิ่มขึ้นเป็นค่าที่มากขึ้นเรื่อย ๆ เส้นจะเข้าใกล้เส้นแนวตั้งบนกราฟมากขึ้นเรื่อย ๆ สำหรับค่าเฉพาะของθตัวอย่างเช่นที่ 90 ° เส้นแนวตั้งแต่ละเส้นเรียกว่า เส้นกำกับ .

ผกผันของไซน์โคไซน์และแทนเจนต์

คุณยังคำนวณฟังก์ชันผกผันกับ sin, cos และ tan ได้ซึ่งหมายถึง 1 หารด้วยฟังก์ชันนั้น พวกเขาถูกกำหนดให้เป็น sin / cos / tan -1 สิ่งนี้ช่วยให้คุณหามุมได้ถ้าคุณมีบาป cos หรือผิวสีแทนของมัน

กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

  • บาป (90) = 1
  • บาป - 1 (1) = 90 °

ตรีโกณมิติและเครื่องคำนวณ


เครื่องคำนวณทางวิทยาศาสตร์มีฟังก์ชัน sin, cos และ tan รวมถึงฟังก์ชันผกผัน ควรใช้เวลาสักครู่เพื่อดูว่าเครื่องคิดเลขของคุณทำงานอย่างไรเพราะอาจช่วยให้คุณประหยัดเวลาได้หลายชั่วโมงเมื่อคุณต้องการ


รูปสามเหลี่ยมและตรีโกณมิติอื่น ๆ

ตรีโกณมิติยังใช้ได้กับรูปสามเหลี่ยมอื่น ๆ ด้วย แต่ก็ไม่ได้เป็นแบบเดียวกัน แทนที่จะมีกฎสองข้อตามรูปสามเหลี่ยมเช่นนี้:

สามเหลี่ยมในตรีโกณมิติ

กฎไซน์คือ:

ถึง/ไม่มี A=/ไม่มี B=/ไม่มี C

กฎโคไซน์คือ:

สอง= กสอง+ bสอง- 2ab cos (C)


ทำไมต้องใช้ตรีโกณมิติ?

นี่เป็นคำถามที่สมเหตุสมผลและอย่างน้อยคำตอบก็ส่วนหนึ่งเป็นเพราะผู้ที่ตัดสินใจเลือกหลักสูตรคณิตศาสตร์ในหลายประเทศคิดว่าคุณควรรู้เกี่ยวกับเรื่องนี้และด้วยเหตุผลที่ดีมาก

ตรีโกณมิติกล่าวกันว่าเป็นความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดเท่าที่เคยค้นพบ รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปแบบที่เรียบง่ายที่สุดรูปแบบหนึ่งที่พบในธรรมชาติ แต่คณิตศาสตร์มีความสำคัญอย่างยิ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อจำเป็นต้องมีการวัดระยะทางที่แม่นยำ เมื่อเราเริ่มคิดถึงแอปพลิเคชันที่ระยะทางที่แม่นยำมีความสำคัญจะเห็นได้ชัดว่ามีหลายสิบอย่างเช่นการนำทางในระบบเรือและการบินดาราศาสตร์ระบบดาวเทียมการสำรวจทางภูมิศาสตร์และการทำแผนที่ (แผนที่) สถาปัตยกรรมและวิศวกรรมโครงสร้างการออกแบบกราฟิก และคอมพิวเตอร์สร้างภาพ

หลายสิ่งเหล่านี้อาศัยเทคนิคการวัดที่เรียกว่า สามเหลี่ยม ซึ่งใช้แนวคิดของตรีโกณมิติ

ตัวอย่าง: ตรีโกณมิติและการนำทาง

เมื่อคุณล่องเรือหรือล่องเรือในทะเลซึ่งคุณจะได้รับผลกระทบจาก:

  • ทิศทางที่คุณคัดท้าย;
  • ความเร็วที่คุณเดินทางไปในทิศทางนั้น (เช่นมอเตอร์หรือความเร็วลม) และ
  • ทิศทางและความเร็วของกระแสน้ำ

คุณสามารถขับรถไปในทิศทางเดียว แต่กระแสน้ำอาจมาจากด้านหนึ่งและผลักคุณไปอีกด้านหนึ่ง คุณจะต้องใช้ตรีโกณมิติเพื่อหาว่าคุณจะเดินทางไปได้ไกลแค่ไหนและไปในทิศทางใดที่แม่นยำ

กำหนดทิศทางการเดินทางของคุณโดยใช้ตรีโกณมิติ

คุณจะเข้าใจถูกต้องแล้วว่ามันไม่ง่ายอย่างนั้นทั้งหมดเพราะทิศทางการเดินทางที่แท้จริงขึ้นอยู่กับความเร็วของกระแสน้ำและความเร็วของคุณ แต่คุณอาจเห็นได้ว่าเหตุใดตรีโกณมิติจึงมีความสำคัญ!


ตัวอย่างการทำงาน

คุณออกไปล่องเรือมาทั้งวันและไม่คิดว่าจะไปสิ้นสุดที่ใด คุณเริ่มออกมุ่งหน้าไปทางตะวันออกและวางแผนที่จะแล่นเรือเป็นเวลาหนึ่งชั่วโมงด้วยความเร็ว 10 กม. / ชม. กระแสน้ำขึ้นเหนือและวิ่งด้วยความเร็ว 5 กม. / ชม. คุณจะเดินทางไปในทิศทางใด?

  1. ก่อนอื่นให้วาดสามเหลี่ยมของคุณ และติดป้ายกำกับด้านข้าง คุณกำลังมุ่งหน้าไปทางทิศตะวันออกดังนั้นเรามาสร้างที่ด้านล่างของสามเหลี่ยมความยาว 10 กม. กระแสน้ำกำลังจะดันคุณไปทางทิศเหนือดังนั้นเรามาสร้างทางด้านขวามือกันดีกว่า และคุณอยากรู้ว่าจะไปในทิศทางไหนนั่นคือมุมกลับ

    ตัวอย่างตรีโกณมิติ
  2. คุณมีสิ่งที่ตรงกันข้ามและอยู่ติดกันซึ่งหมายความว่าคุณต้องใช้แทนเจนต์ Tan θ = ตรงข้าม / ประชิด = 5/10 = 0.5

  3. ตอนนี้เป็นเวลาที่จะใช้ฟังก์ชัน Tan ผกผัน สีแทนผกผัน 0.5 คือ 26.6 ° กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ tan 26.6 = 0.5

  4. เข็มทิศ ทิศทาง ('หัวเรื่อง' ของคุณในการนำทาง) วัดจากทิศเหนือ ซึ่งก็คือ 0 °บนเข็มทิศของคุณ อย่างไรก็ตามคำตอบของคุณจาก (3) วัดจาก 90 °หรือตะวันออก ดังนั้นคุณจะต้องลบคำตอบของคุณออกจาก 90 °เพื่อให้ได้คำตอบ: คุณกำลังเดินทางในทิศทาง (มุ่งหน้า) ที่ 63.4 °ซึ่งอยู่ระหว่างตะวันออกเฉียงเหนือ (45 °) และตะวันออกเฉียงเหนือ (67.5 °)

เหตุใดสิ่งนี้จึงสำคัญ? คุณจะต้องรู้ว่าคุณเดินทางไปในทิศทางใดเพื่อที่จะแล่นเรือกลับบ้านแน่นอน!

ในชีวิตจริงคุณจะต้องจำไว้ด้วยว่าในตอนนั้นกระแสน้ำอาจเปลี่ยนไป ...


สรุป

ตรีโกณมิติอาจไม่มีแอพพลิเคชั่นในชีวิตประจำวันมากมาย แต่ช่วยให้คุณทำงานกับรูปสามเหลี่ยมได้ง่ายขึ้น เป็นส่วนเสริมที่มีประโยชน์สำหรับรูปทรงเรขาคณิตและการวัดจริงและควรค่าแก่การพัฒนาความเข้าใจพื้นฐานแม้ว่าคุณจะไม่ต้องการก้าวหน้าต่อไป

ไปที่:
เรขาคณิต
รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับพีชคณิต